Entalhe em ponte mudou a matemática há quase dois séculos

Enquanto as matemáticas já tinham coordenadas (x, y, z) para representar a posição de um objeto, compreender as alterações nessas coordenadas ao girar o objeto envolve uma geometria esférica complexa. E Hamilton buscava um método mais simples.

Ele se desenvolveu em uma técnica que utilizava números complexos, que possuem uma parte real e uma parte imaginária. A parte imaginária é um múltiplo do número iii, que representa a raiz quadrada de menos um (definida por i2=−1i² = -1i2=−1).

No início do século XIX, matemáticos como Jean Argand e John Warren descobriram que números complexos podiam ser representados por pontos em um plano. Warren também demonstrou que girar uma linha em 90° nesse plano era simples como reverter o ponteiro de um relógio. Isso ocorre quando um número é multiplicado por iii.

Impressionado com a conexão entre números complexos e geometria, Hamilton começou a aplicar essa ideia em três dimensões. Ele idealizou um plano complexo 3D, introduzindo um segundo eixo imaginário, representado por jjj, perpendicular aos eixos existentes. Após meses de trabalho, descobrimos que para estender a rotação 2D de multiplicar por iii, pressionando números complexos quadridimensionais, com um terceiro número imaginário, kkk.

Nesse espaço matemático 4D, o eixo kkk seria perpendicular aos outros três. Assim, kkk seria definido como k2=−1k² = -1k2=−1 e também como k=ij=−jik = ij = -jik=ij=−ji. Ao juntar essas definições, chegou à formulação que mudou a matemática: i2=j2=k2=ijk=−1i² = j² = k² = ijk = -1i2=j2=k2=ijk=−1.

Hamilton nomeou seus números 4D de quatérnios e os utilizados para calcular rotações no espaço 3D. Essa técnica é fundamental para o movimento de robôs e a orientação de satélites. A parte imaginária de um quatérnio representa o que Hamilton chamou de “vetor”.

Segundo ele, um vetor codificado simultaneamente dois tipos de informação: magnitude e direção. Por exemplo, para descrever a posição de um objeto (x, y, z) em relação à origem, Hamilton visualizou uma seta apontando da origem até a localização do objeto, representando o vetor de posição xi+yj+zkxi + yj + zkxi+ yj+zk. Os componentes desse vetor são as distâncias ao longo dos eixos x, ye z.

Meio século depois, o telegrafista inglês Oliver Heaviside modernizou a análise vetorial, substituindo a estrutura imaginária de Hamilton por vetores unitários reais, mas os componentes apoiados pelos mesmos.

Hamilton definindo duas formas de multiplicar vetores: uma que resulta em um número (produto escalar) e outra que resulta em um vetor (produto vetorial). Essas operações atualmente são bastante utilizadas em aplicações como a fórmula da força eletromagnética.

Embora o matemático francês Olinde Rodrigues tenha criado uma versão semelhante a esses produtos pouco antes de Hamilton, foi o irlandês quem unificou os componentes em um único objeto matemático, o vetor. Antes dele, matemáticos como Isaac Newton não tinham esse conceito, com exceção de Hermann Grassmann, que desenvolveu um sistema vetorial independente, embora menos claro.

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Hamilton mudou para sempre para matemática e engenharia

Hamilton também criou uma notação compacta para suas equações, utilizando letras gregas para denotar quatérnios e vetores, que hoje são frequentemente representadas com letras latinas em negrito. Essa notação transformada na forma como detalhes físicos são representados no espaço tridimensional.

Um exemplo dessa nova linguagem matemática é uma das equações de Maxwell que relacionam os campos elétricos e magnéticos: ∇×E=−∂B/∂t.

Essa descoberta simples ilustra como um vetor de campo elétrico (E) se propaga em resposta a mudanças em um vetor de campo magnético (B). Sem a notação vetorial, a busca exigia três expressões distintas, complicadas e longas.

Embora Hamilton não tenha vivido para ver o reconhecimento de seu trabalho por Maxwell, sua determinação em inovar e as crenças em suas ideias mudaram para sempre a matemática e a engenharia.

Em homenagem às contribuições do matemático, 16 de outubro é considerado o Dia de Hamilton, como uma maneira de reverenciar seu legado, que permanece presente em uma variedade de tecnologias modernas.