Saiba como o Teorema do Limite Central “governa” o mundo

Para quem não é matemático ou estatístico, o Teorema do Limite Central (CTL) pode ser um termo desconhecido, mas você já deve ter ouvido falar de um conceito relacionado: a “distribuição normal”, também chamada de “curva em sino”.

Em comunicado à revista científica BritânicaRichard Routledge, professor de estatística da Universidade Simon Fraser em Burnaby, Canadá, explicou que este teorema estabelece que a distribuição normal é aquela para a qual a média de quase qualquer conjunto de variáveis ​​independentes geradas aleatoriamente converge rapidamente.

Isto explica por que a distribuição normal é tão comum e muitas vezes é uma excelente aproximação para a média de uma coleção de dados, mesmo com apenas 10 variáveis.

Existem diversas versões do teorema, dependendo do problema específico a ser abordado. A versão mais comum diz que a soma de N variáveis ​​aleatórias independentes, com qualquer distribuição e variâncias semelhantes, aproxima-se de uma distribuição gaussiana (distribuição normal) à medida que N aumenta.

Isto significa que, sob certas condições, a distribuição de um conjunto de variáveis ​​tende a formar a clássica “curva em sino”, na qual a maioria dos resultados se concentra em torno da média, e as probabilidades diminuem à medida que se afastam desta média. .

Grant Sanderson, do canal 3Azul1Marrom no YouTube, explica o teorema de uma forma mais simples. Imagine que você tem uma variável aleatória, ou seja, um processo onde cada resultado está associado a um número. À medida que o número de amostras aumenta, a distribuição dos resultados se assemelhará cada vez mais a uma curva em sino. Esta é a essência do Teorema do Limite Central.

Quando o Teorema do Limite Central pode ser aplicado

Para aplicar o teorema, algumas condições, que são relativamente fáceis de alcançar, devem ser satisfeitas. As variáveis ​​devem ser independentes e distribuídas de forma idêntica (iid), o que significa que cada variável não deve influenciar as demais e todas devem ter a mesma distribuição de probabilidade.

Um exemplo clássico seria lançar um dado: cada lançamento é independente do anterior e segue o mesmo conjunto de probabilidades.

Outro exemplo é a placa Galton, dispositivo criado por Francis Galton para demonstrar o TLC. No tabuleiro, cada salto sobre uma estaca é um processo aleatório com dois resultados possíveis. Ao longo de vários pinos, a bola segue um caminho que resulta em uma distribuição que se aproxima do formato de um sino.

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Mas por que o TLC é tão útil? Além de prever resultados médios, a distribuição normal também permite calcular a probabilidade de variações em torno dessa média. Segundo Sanderson, cerca de 68% dos valores de uma distribuição normal estarão dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois desvios e 99,7% dentro de três desvios.

Isso tem aplicações práticas na vida cotidiana. Por exemplo, ao fabricar calças, sabendo que a altura média do chão ao quadril dos homens nos EUA é de 38,74 polegadas, com um desvio padrão de 4,71 polegadas, uma empresa pode produzir calças com comprimentos de perna que cobrem 68 polegadas. % ou até 95% da população-alvo, dependendo da faixa de tamanho escolhida.

Outro uso interessante do TLC é verificar a veracidade de um experimento. Se alguém disser que lançou um dado 300 vezes e obteve um total de 1.653, o teorema pode ajudar a calcular a média esperada desses lançamentos e concluir que esse resultado é extremamente improvável, indicando que a pessoa pode estar mentindo.

A TLC também é relevante no controle de qualidade em processos industriais. A distribuição normal serve de base para muitos procedimentos de controle estatístico. Quando as principais fontes de variação em um processo de fabricação são identificadas e controladas, as variações residuais, causadas por um grande número de fatores independentes, tendem a seguir uma distribuição normal. Isso permite identificar e corrigir com eficiência variações indesejadas.

Em resumo, o Teorema do Limite Central é amplamente utilizado em muitas áreas, fornecendo uma ferramenta poderosa para a compreensão de padrões em dados aleatórios. Revela uma regularidade oculta no meio do caos aparente, oferecendo uma base matemática para previsões e análise de dados num mundo cheio de incerteza.