Brasileiros resolvem problema matemático de mais de 100 anos

Pesquisadores da Universidade Estadual Paulista (Unesp) de Rio Claro (SP) alcançaram um feito impressionante, que pode colocar o Brasil na história da matemática mundial: resolveram um problema matemático que não era resolvido há 124 anos.

Os profissionais em questão são Vinícius Barros da Silva, Edson Denis Leonel e João Peres Vieira, criadores da Teoria Geométrica das Bifurcações (TGB). Isto, por sua vez, resolve o 16º problema de David Hilbert, um importante matemático alemão que viveu no século XX.

A resolução de problemas matemáticos pode revolucionar vários setores da sociedade

“A principal motivação para investigar este problema foi, em primeiro lugar, o desafio, pois muitos matemáticos e físicos não conseguiram encontrar uma resposta”, diz Silva ao Jornal Unesp. “Penso que isto se deve em parte ao facto de as abordagens anteriores não abordarem o problema diretamente e algumas apresentarem uma versão simplificada da questão.”

• A solução deste problema matemático é de tal importância que poderá revolucionar áreas da biologia, engenharia, computação, entre outras;
• A forma como os pesquisadores brasileiros abordaram o tema permite analisar o comportamento dos ciclos limites em sistemas dinâmicos (entenda o que são a seguir) por meio de métricas geométricas;
• Os ciclos limites são padrões repetitivos que surgem nas soluções de equações diferenciais polinomiais (saiba mais no final do texto);
• Por sua vez, sistemas dinâmicos são sistemas que evoluem ao longo do tempo de acordo com regras e leis especificadas e conhecidas pelos cientistas.

Para o g1Silva comemora a conquista, alcançada ao lado dos colegas: “É uma mistura de entusiasmo, revelação e grandiosidade”, comenta.

O matemático explica ainda que “a solução traz grandes impactos em áreas que envolvem sistemas dinâmicos, ciclos limites e também equações diferenciais. Por exemplo, em biologia, os ciclos limites são problemas amplamente estudados em reações químicas, modelos epidemiológicos, podendo ser estudados em síndromes respiratórias como a Covid-19, e também em modelos populacionais. Na engenharia, os ciclos limites também são extremamente importantes para o desenvolvimento de sistemas de controle de temperatura e circuitos elétricos.”

Outros setores capazes de se beneficiar muito com a descoberta são a segurança cibernética e a criptografia quântica, pois, com a Teoria da Bifurcação Geométrica e a partir de cálculos, será possível prever situações que podem fugir do controle, como o roubo de dados. Isto promete revolucionar estas e outras áreas.

Pode trazer mais possibilidades no estudo de sistemas dinâmicos e abrir portas para diversas aplicações baseadas em ciclos de limites, essenciais para a proteção de dados em diversos setores, incluindo financeiro e bancário.

Leonel, outro dos responsáveis ​​pelo feito, também é professor de física da Unesp Rio Claro e explica que a resolução faz a ciência brasileira dar um grande passo:

É uma solução analítica robusta para o sistema e, portanto, traz uma solução aberta há 124 anos. É uma solução definitiva para este problema.

Edson Denis Leonel, professor de física da Unesp Rio Claro e um dos autores do estudo, em entrevista ao g1

Pesquisadores concorrem a prêmio internacional

A pesquisa permitiu ao pesquisador Vinicius Barros da Silva, 30 anos, concorrer a um prêmio internacional voltado para jovens pesquisadores. O Centro Internacional de Física Teórica (Prêmio ICTP) será realizado em Trieste (Itália). O vencedor será anunciado até o final deste ano.

Fico muito feliz em perceber que essas matérias que estudamos em laboratório e em sala de aula vão além do microcosmo da sala de aula e se aplicam na sociedade e, mais importante, se aplicam também no contexto nacional e internacional.

Vinicius Barros da Silva, pesquisador, matemático e um dos autores do estudo, em entrevista ao g1

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Qual é o 16º problema de David Hilbert?

A maioria dos problemas propostos por Hilbert (mais de 20) foram parcial ou totalmente resolvidos. Apenas o oitavo, o 13º e o 16º não tiveram resposta.

O 16º problema de David Hilbert propõe o desenvolvimento de uma topologia de curvas e superfícies algébricas. Como isso explica Jornal Unespo problema é dividido em duas partes e envolve o encontro da álgebra e da geometria na matemática.

A questão que Hilbert coloca em seu 16º problema envolve a determinação do número máximo de ciclos limites nas expressões matemáticas usadas para descrever como certos fenômenos variam ao longo do tempo.

Estas expressões são chamadas de equações diferenciais polinomiais e podem ser aplicadas, por exemplo, para gerar previsões sobre como uma população de animais mudará ao longo do tempo. Neste exemplo de mudanças na população animal, os ciclos limites representam os padrões. Em outras palavras, a repetição de certas tendências. Siga o exemplo:

Num ambiente florestal onde coexistem presas e predadores, o aumento das presas traz consigo um aumento no número de predadores. Um maior número de predadores resulta em um declínio na população de presas. Consequentemente, há uma queda na população de predadores. Isto novamente leva a um aumento adicional na população de presas.

Simplificando, os pesquisadores brasileiros resolveram a questão de como seria possível prever quantos tipos diferentes de padrões (ciclos) apareceriam nessa floresta antes que ela entrasse em rotina, portanto, antes que as mudanças começassem a se repetir da mesma forma.

Tal comportamento já foi observado em diversos sistemas por físicos, desde escalas atômicas até meteorológicas — por isso a descoberta pode revolucionar diversos setores da sociedade.

No passado, vários pesquisadores afirmaram ter encontrado a solução para o problema, porém, nenhuma das proposições foi considerada válida pelos matemáticos.

Abordagem usada pelos brasileiros

Até então, todas essas tentativas foram feitas utilizando os mesmos métodos matemáticos. Silva entende que isso dificultou a busca por respostas, pois as principais abordagens se dividiram entre o uso de teoremas negativos e métodos aproximados.

“O grande problema dessa abordagem é que, no caso dos teoremas negativos, eles são muito bons para identificar quando o sistema não possui ciclo limite, mas não fornecem nenhuma informação além disso. Estes teoremas permitem-nos descobrir se existe ou não um ciclo limite, mas quantos existem? Não temos como saber”, diz.

O problema da segunda abordagem reside na simplificação do problema, pois só pode ser utilizado para encontrar o número mínimo de ciclos limite, enquanto o problema de Hilbert procura uma resposta para o número máximo.

Para “sair da mesmice”, o grupo tentou abordar o problema a partir da geometria. Os pesquisadores utilizaram um método chamado geometria da informação de Fisher, que permite gerar um mapa capaz de medir as “distâncias” entre diferentes estados de um sistema (no nosso exemplo, os momentos em que há mais ou menos predadores e presas).

A visualização dessas distâncias gera um tipo específico de curva e, por meio de simulações em diferentes sistemas, o grupo entendeu que a resposta para o número de ciclos limites estava contida na curvatura gerada neste mapa.

“Identificamos que, quando um sistema não tinha ciclo limite, a curvatura era zero ou negativa; quando havia apenas um ciclo limite; a curvatura era positiva e tornava-se infinita em pontos simétricos em relação à origem do sistema; agora, quando o sistema tinha mais de um ciclo limite, a curvatura divergia em pontos diferentes, não simétrica”, explica Silva.

Cada um desses pontos, presentes na curva e determinando o caminho que o sistema seguirá, corresponde a um ciclo limite. Sob esse ponto de vista, os pesquisadores perceberam que conseguiram não só identificar quantos ciclos limites um determinado sistema possui, mas também onde eles estão posicionados no espaço, o que contribui para a resolução do problema. Tal abordagem é a Teoria da Bifurcação Geométrica.

Ao saber quando um sistema “muda” e quando tais mudanças começam a se repetir, será possível gerar previsões mais precisas sobre o futuro de um sistema, possibilitando planejar determinadas ações com base nesse conhecimento.

Na meteorologia, por exemplo, pode ajudar a prever eventos, como El Niño e La Niña, bem como a intensidade de furacões, com ciclos que variam de três a sete anos. Saber quantos ciclos limites podem existir no sistema climático ajudaria a prever, de forma mais correta, com que frequência e com que frequência tais fenômenos poderão ocorrer, bem como identificar a possibilidade do surgimento de outros padrões desconhecidos.